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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6: Teorema del Valor Medio

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8. Calcule los siguientes límites
a) $\lim _{x \rightarrow 1} \left(\frac{1}{\ln(x)}-\frac{1}{x-1}\right)$

Respuesta

En este caso estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito menos infinito". Para poder salvarla, vamos a reescribir esto como un cociente y veremos si podemos aplicar L'Hopital:

$\lim _{x \rightarrow 1} \left(\frac{1}{\ln(x)}-\frac{1}{x-1}\right) = \lim _{x \rightarrow 1} \left(\frac{x-1 - \ln(x)}{\ln(x)(x-1)}\right) $

Ahora si, convertimos la indeterminación en un "cero sobre cero"... y ya sabés lo que vamos a hacer, ✨L'Hopital✨

$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1 - \frac{1}{x}}{\frac{1}{x} (x-1) + \ln(x)} = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{1 - \frac{1}{x}}{ 1 - \frac{1}{x} + \ln(x)}$

Persiste el "cero sobre cero", aplicamos L'Hopital una vez más:

$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}} = \frac{1}{2}$

Y listo! El resultado del límite es $\frac{1}{2}$
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Avatar Yelitza 28 de noviembre 01:11
¿no quedaria menos un medio?
Avatar Flor Profesor 28 de noviembre 10:06
@Yelitza Hola Yelitza! Queda 1/2 positivo, pero calculo que te debe estar dando -1/2 por cómo te quedaron las derivadas cuando aplicaste L'Hopital! Consejo, chequeá esas derivadas (fijate que te puede ayudar lo que le respondí a Benjamín más abajo el cuatri pasado, está en uno de los comentarios acá abajo) y avisame si ahí salió!
Avatar Yelitza 28 de noviembre 17:42
@Flor muchas gracias
Avatar Renato 12 de mayo 17:47
Flor disculpa nuevamente las molestias, pero me podrias explotar el denominador porfa, después de ser reescrito como un cociente. Porque no entiendo entendí la resolución que le diste 
Avatar Flor Profesor 13 de mayo 11:52
@Renato Hola Renato de nuevo! jaja tranqui no hay problema! Vos te referís a este paso?

$\lim _{x \rightarrow 1} \left(\frac{1}{\ln(x)}-\frac{1}{x-1}\right) = \lim _{x \rightarrow 1} \left(\frac{x-1 - \ln(x)}{\ln(x)(x-1)}\right) $ 

Estamos usando lo mismo de siempre para escribir una suma o resta de fracciones como una única fracción. O sea para el denominador común multiplicas los denominadores y despues haces los productos cruzados. Eso está en la parte de Ejercicios preliminares -> Repaso de matemática -> Operaciones con fracciones

Entendí bien que esa era la duda? Sino fijate que abajo Benjamín preguntó sobre una de las derivadas, capaz también te ayuda ver esa duda! 

Sino porfa avisame y lo seguimos charlando!
Avatar Renato 14 de mayo 00:07
Ahora por este lado jeje. Esa no era mi duda, porque lo hice asi es el siguiente paso una vez que tenemos las fracciones ya reescritas como una sola. Lo que me confunde es que queremos la derivada del denominador que es "ln(x).(x-1)" Tu colocas 1/x(x-1) + ln(x) y después 1 - 1/x + ln(x)
Avatar Benjamin 11 de mayo 08:19
ppr q queda 1/x al cuadrado?
Avatar Flor Profesor 11 de mayo 12:50
@Benjamin Esa es la derivada de $-\frac{1}{x}$. Tenés dos opciones para resolver este tipo de expresiones, seguro ahora en alguna de las clases que veas me vas a escuchar comentando las dos jaja... Opción 1, lo reescribis como $-1 \cdot x^{-1}$ y derivas con las reglas para polinomios. Opción 2, que creo que para muchos termina siendo la más fácil, es usar regla del cociente, entonces cuando calculas la derivada de $\frac{-1}{x}$ te queda:

$\frac{0 \cdot x - (-1) \cdot 1 }{x^2} = \frac{1}{x^2}$
Avatar Benjamin 11 de mayo 18:33
ahh bien bien, gracias !
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